2次不等式の「解なし」とか「解はすべての実数」とかなんでそうなるの?

二次不等式
中山
二次不等式の問題をしていてわからないとこがでてきました

y=ax+bx+cがx軸と共有点をもたないとき,
y=ax+bx+cはどのxに対しても正となるので,
2次不等式の解は次のようになります.

<問題の形>         <答の形>
ax+bx+c>0(a>0) → xはすべての数
ax+bx+c≧0(a>0) → xはすべての数
ax+bx+c<0(a>0) → 解なし
ax+bx+c≦0(a>0) →  解なし


引用ページ  2次不等式


中山
なんでそうなるのか?
理由を調べても出てこない



中山
例えばこの問題

D<0 → 解はない → 2次関数のグラフとx軸の共有点はない

【例】 x2+2x+3=0
                   → D=−8<0

 

:実数解はない
y=x2+2x+3とx軸の共有点はない


中山
実数解がないこの時点で解なしじゃないの?
なんで「すべての数」とかいうのが出てくる上に
等号の向きで解なしに変わるのかがわかりません


Mr.R
いや、グラフを見れば明らかなんですけどね・・・

と言っても分かるわけがないので解説してきましょう





全ての実数ってなんぞや?

 

まずはこの質問に答えていきましょう。

中山
実数解がないこの時点で解なしじゃないの?

【例】 x2+2x+3=0
   → D=−8<0

もし問題がこれなら「解なし」で正解です。

だって、「x2+2x+3」が0になるようなxの値(実数)は存在しないから。

 

じゃあ、もし問題がこうだったらどうでしょうか?

【例】 x2+2x+3>0
   → D=−8<0

「いやいや、答えは一緒で“解なし”でしょ!」って思いますか?

もしそう思ってしまったならちょっとマズイ・・・

なぜなら、この問題は

x2+2x+3」が0より大きくなるようなxの値(範囲)を求めなさい

と言っているのだから。

 

分かりますか?

 

じゃあ、どんなxの値だったらx2+2x+3は0より大きくなるでしょうか?

試しにxに「1」を入れてみましょう

x2+2x+3
=
12+2*1+3=6 > 0ですよね。

じゃあ「2」を入れてみた場合

x2+2x+3
=
22+2*2+3=11 > 0ですね。

というか、パット見xが正であれば
x2+2x+3も正になりそうな気がします。

 

では逆にマイナスの値を入れてみたらどうでしょうか?

「-1」を入れてみましょう。

x2+2x+3
=(-1)2 + 2(-1)+3=2 > 0

「-2」を入れると

x2+2x+3
=(-2)2+2(-2)+3=3 > 0

「−3」を入れると

x2+2x+3
=(-3)2+2(-3)+3= 6 > 0

・・・もういいでしょうか?

これ以上、何を入れても
すなわちどんな実数の値をxに代入しても
答えは常に正になりそうですよね。

もちろん、こんな説明を答案に書いたら
答えは合っていても大幅に減点を喰らいますが、
まずはなんとなく雰囲気を掴んでくださいね。


「xに何を入れても大丈夫そう」

↑この感覚を掴むことが大事です。

なぜなら、「xは全ての実数」というのは
上記の一文をきちんと言い換えただけだからです。

では、なぜ「xが全ての実数」において
すなわち、どんなxの値であっても
x2+2x+3>0は成り立ってしまうのでしょうか?

 

二次不等式の問題は二次関数のグラフで丸わかり

 

ここまでくればもう一息です。

中山
なんで「すべての数」とかいうのが出てくる上に
等号の向きで解なしに変わるのかがわかりません

この質問に答えるにはグラフを書けば
一発で解決してしまうんですね。

図の通り、これはy=ax2+bx+cのグラフです。

これだと抽象的すぎて何のことか分からないので
さっきのx2+2x+3を引き合いに出しましょう。

このグラフの判別式は−8でしたから
y=0(x2+2x+3=0)のときの解はない

⇔y=0という直線とy=x2+2x+3という曲線の共有点はない

⇔y=x2+2x+3のグラフはx軸と交点を持たない

というわけです。

 

この3つの文はすべて同じ意味なのがわかりますか?

 

もう一度書きますよ。

y=0(x2+2x+3=0)のときの解はない(D=-8<0だから)

⇔y=0という直線とy=x2+2x+3という曲線の共有点はない

⇔y=x2+2x+3のグラフはx軸と交点を持たない

全て同じ意味です。

ということはグラフにするとどうなるかというと
まさにこのグラフのように
x軸から上に浮いたような状態になっているわけですね。

 

ということはですよ。

y=x2+2x+3というグラフは
xがどんな値をとってもy>0ですよね。

すなわち、xがどんな値を取っても
y=x2+2x+3>0になるわけです。

つまり、「xが全ての実数」において
x2+2x+3>0は成り立ちますよね?

要するにそういうことです。

逆にx2+2x+3<0はxにどんな値を放り込んでも
絶対に成立しません。

当たり前ですよね。

どんな値を代入してもプラスになるものが
マイナスになったら天地がひっくり返っちゃいます。

それはグラフを見ても明らかです。

だからx2+2x+3<0となるようなxの値は存在しない
つまり、「解なし」になるわけです。

ここまで分かればどんな問題が来ても
対応できるのではないでしょうか?

2次不等式を解きたいならやるべきことはたった1つ。

yとxの二次関数に見立ててグラフを書くこと

たいていの問題はこれで解決します。
トップの画像の意味もよーく理解できるでしょう。

逆に、グラフを書かずに解くのは
至難の業と言えます。

中山君、これで分かったかな?

というわけで、今回はこの辺にて。

今日も最後まで読んでくれて
ありがとうございました。

Mr.R

中山

なるほど、

y=ax2+bx+cだと
何のことか分からなかったけど


x2+2x+3
といった具体的な数を引き合いに出したり
実際にグラフに数を代入するとめちゃわかりやすくなりました!
ありがとうございますm(ーー)m


しかし実際にグラフで書くことができるのに
判別式に代入すると「解なし」と言う場合が出てくる


この矛盾を解消するために
虚数というものがあるのだろうか?

 

Mr.R
その疑問は判別式って何だっけ?ということを考えれば解決しますよ。

ヒントはこちら


まあそれは先のことなので置いとくとして笑
式やグラフの場合分けが理解できたおかげで
やっとこのレベルの問題が理解できるようになってきた

問題 Xの二次不等式x2+mx+3<0について
(1)この不等式が解を持たないようなmの範囲を求めよ
(2)この不等式の解の範囲が全て正であるようなmの範囲を求めよ


回答はコチラ
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東大入試まであと410日

ここまでの理解に1週間も費やしたOrz


まだまだ問題文を数式に変換する作業に慣れないし
問題から作者が何を求めているのかが見えてこない


このペースで間に合うのかしら(*´Д`)
いや見事間に合わせて見せようじゃないか!


TO BE CONTINUEED