連立方程式の問題でなぜ解の判別式が出てくんだ?

1月5日
中山
R先生!今日はこの問題が分かりません!
Mr.R
ほう、見せてください
中山
連立方程式の計算や問題は答えをたどれば
なんとかできるようになったけれど

なんでこの問題に
二次方程式の解の判別式が使われるんだ?


1月5日 1月5日 その2

中山
問題の本質がさっぱりわからないので
きっと形を変えられたら対応できなくなる
Mr.R
なるほど、中山君はそもそも判別式って何か分かってますか?
中山
二次方程式の解が一つか二つか無しかを
調べる公式くらいにしか頭に入ってない( ̄^ ̄)
Mr.R
やっぱりそうですか(苦笑)

では、今日は解の判別式がそもそもなんぞや?
というところから、分かりやすく解説していきましょう

なぜ解の判別式で解の個数が分かるのか?


そもそも解の判別式が何なのか?

ここを理解していないと
ただ公式を覚えるだけになってしまって非常に効率が悪いです。

もちろん、慣れてきたら

「あ、この問題は判別式だ!」

みたいにパターン化して覚えてしまうのもアリです。
そのほうが早いですし。

しかし、あまりオススメはできません。
なぜなら、応用が効きにくいからです。

最初にまず判別式とはどういったものなのか?

ここを理解しておくことで
スムーズに問題を解いていくことができるはずです。

で、判別式の説明をするためには
まず解の公式を抑えておいてもらわないといけません。

解の公式、覚えていますか?

解の公式
でしたよね。

この公式をジーッと見てください。
あることに気づきませんか?

 

あれ?

なんか見覚えあるぞ?と。

 

そう。

判別式 D= b-4ac って解の公式の√の部分ですよね。

 

解の個数を調べるための方法はここがポイントになっているのです。

解の公式

この解の公式では見る人がみたら
xの解が1つだけに見えるかもしれないですけど、
±って+とーですからね。

つまり+の値とーの値の両方(すなわち2つ)を
解に持ってまっせ、ということ。

でも、ここでおかしいなと気づかないといけません。

「その理屈で言ったら2次方程式の解は
必ず2つあるんですか?」

って話になっちゃいますよね。

でも、違うはずです。

2次方程式において

  • 解が2つある場合と
  • 1つしかない場合と
  • そもそも実数の解を持たない場合と

3つのパターンがありますよね。

じゃあ、この違いはどこから生まれてくるのか?

 

それが√の中の人。

すなわち b-4ac によって変わってきますよね。

もし√の中身がマイナスだったらどうなりますか?

(実数の)解がない、ということになりますよね。

だって√の中身がマイナスになるような
実数は存在しないのだから。

(もうちょっと正確に言うならば
2乗してマイナスになるような実数は存在しないのだから)

 

じゃあ、もし√の中身が0だったら?

x = b/2a ± 0 ですから、x = b/2a で解は1つだけですよね。

 

最後に、√の中身が+(正)だったらどうでしょうか?

+√b-4ac と -√b-4ac の両方の値が存在します。

すなわち、解は2つあるということになりますよね。

結局、判別式Dって何?と聞かれたら
2次方程式における解における√の中の人。

とでも覚えておきましょう。

で、その中の人の正体が b-4ac なのですが、
毎回b-4ac なんて書いていたら面倒くさいわ!

っていう発想になりません?

正直、僕は今こうやってPCで
打ち込んでいて非常に面倒くさいです(苦笑)

じゃあ、もう毎回書くの面倒だしDで統一しちゃおう!

ということで D=b-4ac と置き換えているだけに過ぎないんですね。

いやー、Dと書けばいいだけなんて非常に快適ですわ。
この上なく快適です。

Shift押しながらキーボードのdを叩くだけですからね。

しかも判別式Dを使っちゃえば解の公式だって
x = (-b ± √D)/2a と表せちゃう!

なんて楽チンなんだろう^^

 

・・・とそんな冗談はさておき、
解の判別式については理解してもらえたでしょうか?

ここまで分かれば今回の問題も容易いです。

 

別に連立方程式は関係なくね?

なんかこの記事のタイトルに「連立方程式」とか
出てきてるのでややこしいですが、
別に連立方程式とか関係ないですよね。

「連立方程式においてyの値を代入したら
2次方程式の問題になった」という認識が正しいです。

たしかに見た目は連立方程式ですが、
別に連立方程式の問題ではありません。

ただの連立方程式の問題なら
中学生がやるべき問題です。

だから、この問題の出題者はこう言っているのです。

この問題は連立方程式の問題では決してなく
2次方程式の問題だぞ。惑わされるなよ

 

中山君はまんまと騙されたわけですね(ニヤリ)

まだまだ問題の認識能力が甘いですよ。

常にそもそも何を求める問題なのか?
何のためにこの公式を使っているのか?

しっかり振り返るようにしましょう。

ではでは。

Mr.R

 

今日の振り返り

中山
なるほど!
判別式は二次方程式の解の中の人か!

たしかに中がマイナスになったら解はないし
0なら解は1つだしプラスなら2つになる。

ということは

「解が一つになるように」
「解は正の数」
と問題文で書いていれば

判別式を使えと
ある程度問題の予測が付くわけか

最後の2文はムカついたけど笑
次は引っかからないよう気をつけます^^


詳細な解説ありがとうございました m(ーー)m

 

本日の勉強時間 

4時間 

内容:連立方程式の計算と問題 
   昨日の復習

中山
そろそろわからない問題を集めた
わからない問題集をつくろうと考え中

でないと何がわからないかがわからなくなるぞ!
Mr.R
それに関しては新しく記事を書いたので読んでみてください
間違いノートを絶対に作ったほうがいいたった1つの理由

間違いノートを絶対に作ったほうがいいたった1つの理由

投稿:2016.01.07 | 最終更新:2016.01.20

どうも、こんにちは。Mr.Rです。今日は間違いノートを絶対に作ったほうがいい理由をお伝えしようと思います。あなたは“間違いノート”を作っていますか?そもそも間違…

 

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